华东师范大学出版社基教分社

有趣的幻方

李文革

华东师大版初中数学教材在七年级上册第8页用一个“阅读材料”简单介绍了幻方。幻方是一种数学游戏，如图1左，它最早出现于我国公元前2200年的“洛书”。

图1

“洛书”用数字表示就是如图1右所示的幻方，它的行、列及两条对角线上的数字和均相等，都等于15。

一、幻方是什么

幻方是一个方形，它每边含有相同数目的格数，每边的格数称为它的阶。“洛书”就是一个三阶幻方。如果是4行4列的方格组成的幻方，我们称之为4阶幻方，依次类推可以定义各阶幻方。幻方的行、列及两条对角线上的数字和均相等，称之为“幻和”。例如，如图1右所示的三阶幻方的幻和就是15。

不仅数学家研究幻方，物理学家、政治家也研究幻方。例如，美国政治家富兰克林（B.Franklin）曾制作了如图2所示的八阶幻方。它的幻和是260，它有一些独特的性质，如从16到10，再从23到17所成折线上八个数字之和也为260，且平行这种折线的诸折线上的八个数字之和也为260。

图2

二、幻方的制作

制作幻方是一个古老的游戏，人们不分职业、种族、年龄，都对它乐此不疲。

1.根据数量关系制作幻方

我们先看如何制作一个三阶幻方，讨论下列问题：

在如图3左所示的3×3的方格中填入1~9这9个数，使每行、每列及每条对角线上各数的和分别相等。

图3

此问题中，每行、每列及每条对角线上各数的和是未知的。要解决此问题，首先必须求出这个相等的和。1~9这9个数的和为9/2（1+9）=45，而共有3行（列），所以每行（列）的和为45/3=15。

如图3右，a~i分别代表数字1~9，r1、r2、r3分别表示相应行的和，c1、c2、c3分别表示相应列的和，d1、d2分别表示相应对角线的和。因为r2+ c2+ d1+ d2=4×15=60，而r2+ c2+ d1+ d2=（d+e+f）+（b+e+h）+（a+e+i）+（c+e+g）=3e+（a+b+c+d+e+f+g+h+i）=3e+45=60，因此e=5，即5应填在幻方的正中间的方格中。由此我们可以立刻得到a+i=g+c=b+h=d+f=15－5=10。

数字1不能填在幻方的角落位置。假设a=1，则i=9。因为2、3、4不能和1在同一行（列）（否则该行或列的和不可能为15），所以剩下的两个位置（h和f所在的位置）要放3个数，这是不允许的，因此1不能填在幻方的角落位置。这样1和9只能被填入某一行（列）的中间位置。

3不能和9在同一行（列），否则该行（列）的第3个数也应是3。

3和7也不能填在幻方的角落位置，否则1与7会在同一行（列），而1与7不能在同一行（列），因为这时该行（列）的另一个数也要是7。

由上面的分析，可以得到如图4所示的8种答案：

图4

2.奇数阶幻方的制作

（1）三阶幻方的制作

制作一个三阶幻方，先作一个三阶的方形，并且在每边的中间向方形外多作一格（如图5左）。然后，从上一格开始填数字，依着斜线顺序填入，一斜行填好，再填下一斜行，行与行之间保留了一些空格（如图5中）。最后，只要把凸在方形外之格中的数字，分别移到其对面中间的空格中，便构成了一个幻方（如图5右）。

图5

（2）五阶幻方的制作

如图6～7，制作五阶幻方的方法与制作三阶幻方的方法类似。

图6

图7

3.偶数阶幻方的制作

（1）四阶幻方的制作

如图8左，作一内含16小格的方形，依次由左开始，每列顺次填入数字1、2、3…16。然后，考虑两对角线上的数字，以方形的中心为对称中心，把对角线上的数字互相调换至对称的位置，不在对角线上的数字不动（如图8中）。于是，就制作成一个四阶幻方（如图8右）。

图8

（2）八阶幻方的制作

制作八阶幻方，可先作出如图9所示的方形及特别的斜线，由左上角开始，从左到右，每列依次填上数字，凡数字在斜线经过的格中都特别作了记号。在64格中填好数字后，再调换有记号的数字。调换的方法是以方形的中心点为中心对称点，有记号的数字都要调换到对称的位置。例如，1和64对调；10和55对调；11和54对调；5和60对调；等等。